UWF INTER

単体分割を利用した結び目の
近傍抜き取りプログラムの試作

日本大学文理学部

情報システム解析学科 曽根英則

目次

1. 準備と研究の目的

2. 作成ツールについて

3. デモ

4. 今後の課題

目次

1. 準備と研究の目的

2. 作成ツールについて

3. デモ

4. 今後の課題

準備と研究の目的

1.1 結び目について

1.2 研究目的

1.3 単体分割

1.4 結び目近傍と近傍の抜き取り

1.5 重心細分を利用した近傍の抜き取り

目次

目次

準備と研究の目的

1.1 結び目について

1.2 研究目的

1.3 単体分割

1.4 結び目近傍と近傍の抜き取り

1.5 重心細分を利用した近傍の抜き取り

結び目とは

１本の自由に伸び縮みするゴム紐の両端を結んだもの

1.1結び目

UWF INTER

結び目の定義

３次元空間に埋め込まれた１本の単純閉折線

UWF INTER

x

y

z

1.1結び目

単純閉折線は頂点の順番と頂点間の線分

であらわせる

UWF INTER

y

x

z

1.1結び目

伸ばす，縮める ＯＫ

切る，貼り付ける やってはいけない

同じ

UWF INTER

結び目は自由に伸び縮みするゴム紐だから

1.1結び目

自明な結び目

UWF INTER

1.1結び目

目次

準備と研究の目的

1.1 結び目について

1.2 研究目的

1.3 単体分割

1.4 結び目近傍と近傍の抜き取り

1.5 重心細分を利用した近傍の抜き取り

トポロジストは

結び目を膨らませ,その膨らませた結び目を

空間から抜き取る操作をよくする

その操作をグラフィカルに表示するツールがあれば

トポロジストに有用なものである

このツールを作ることが研究の目的

1.2 研究の目的

1.1 結び目について

1.2 研究目的

1.3 単体分割

1.4 結び目近傍と近傍の抜き取り

1.5 重心細分を利用した近傍の抜き取り

準備と研究の目的

目次

単体とは何か

０次元 点

１次元 線

２次元 三角形

３次元 四面体

UWF INTER

1.3 単体分割

単体分割とは

２次元での単体分割 三角形分割

３次元での単体分割 四面体分割

平面上に任意の頂点がありこれらを頂点とする

三角形で平面を分割する

四面体分割

三角形分割

空間上に任意の頂点がありこれら

を頂点とする四面体で空間を分割する

UWF INTER

1.3 単体分割

三角形分割の例

UWF INTER

1.3 単体分割

三角形分割の例

UWF INTER

1.3 単体分割

四面体分割の例

UWF INTER

1.3 単体分割

1.1 結び目について

1.2 研究目的

1.3 単体分割

1.4 結び目近傍と近傍の抜き取り

1.5 重心細分を利用した近傍の抜き取り

準備と研究の目的

目次

UWF INTER

1.4結び目の近傍

結び目の表現

四面体分割を構成する四面体の頂点や辺からなる単純閉折線

結び目の近傍

R

3

四面体分割

結び目

結び目の近傍

結び目の頂点ま

たは辺を共有す

る四面体の集合

UWF INTER

1.4 結び目の近傍

結び目の近傍の抜き取り

R

3

四面体分割

結び目

四面体分割から結び目の

近傍を抜き取ったもの

R

3

UWF INTER

1.4 結び目の近傍

結び目の近傍を考える

UWF INTER

1.4 結び目の近傍

結び目の近傍を考える

結び目の近傍を表示

UWF INTER

1.4 結び目の近傍

結び目の近傍を考える

結び目の近傍を削除

UWF INTER

1.4結び目の近傍

結び目の近傍を考える

結び目の近傍を削除

UWF INTER

1.4 結び目の近傍

結び目の近傍の抜き取り

UWF INTER

1.4 結び目の近傍

R

3

R

3

R

3

R

3

結び目の近傍の抜き取り

UWF INTER

1.4 結び目の近傍

目次

準備と研究の目的

1.1 結び目について

1.2 研究目的

1.3 単体分割

1.4 結び目近傍と近傍の抜き取り

1.5 重心細分を利用した近傍の抜き取り

重心細分

細分：単体をさらに細かく分け新たな単体を作ること

重心細分：分けられた単体すべてが元の単体の

重心を頂点にもつように細分すること

1.5 重心細分

２回重心細分：重心細分によってできる単体に

もう１度重心細分を行うこと

UWF INTER

重心

中点

三角形の重心細分の例

重心細分：分けられた単体すべてが元の単体の

重心を頂点にもつように細分すること

UWF INTER

1.5 重心細分

四面体の重心

重心

UWF INTER

1.5 重心細分

四面体の重心細分の例

四面体の重心

三角形の重心

中点

四面体の１つの面に対して四面体が６つ

四面体を重心細分すると２４個の四面体ができる

UWF INTER

1.5 重心細分

UWF INTER

四面体の重心細分の例

1.5 重心細分

２回重心細分

重心細分

UWF INTER

1.5 重心細分

２回重心細分

結び目の近傍

結び目の近傍：結び目の頂点または辺を

共有している三角形の集合

UWF INTER

1.5 重心細分

２回重心細分

結び目の近傍

を抜き取る

結び目の近傍を抜き取る

UWF INTER

1.5 重心細分

２回重心細分を行うことで元の単体の線分に接していない新たな単体を作ることができる

同様のことが四面体でもいえる

四面体分割を構成する各四面体に２回重心細分

UWF INTER

UWF INTER

1.5 重心細分

R

3

２回重心細分して結び目の近傍の抜き取り

四面体分割の四面体に対して２回重心細分

四面体分割

結び目

UWF INTER

1.5 重心細分

R

3

R

3

２回重心細分して結び目の近傍の抜き取り

四面体分割の四面体に対して２回重心細分

四面体分割

結び目

UWF INTER

1.5 重心細分

R

3

目次

1. 準備と研究の目的

2. 作成ツールについて

3. デモ

4. 今後の課題

作成ツールについて

出力（欲しい結果）：四面体分割から結び目

の近傍を抜き取ったもの

R

3

入力

R

3

出力

UWF INTER

2 作成ツールについて

入力： 四面体分割を構成する四面体の頂点と

辺から選んだ結び目

入力

各四面体に２回重心細分

結び目に接していない

四面体には重心細分はしない

R

3

結び目の近傍の抜き取り

には関係ない

2 作成ツールについて

UWF INTER

結び目の近傍を考える

結び目の近傍を削除

UWF INTER

2 作成ツールについて

結び目の近傍の抜き取り

UWF INTER

2 作成ツールについて

結び目の頂点を共有している四面体を削除

入力

２回重心細分

四面体分割から結び目の近傍を抜き取ったもの

出力

目次

1. 準備と研究の目的

2. 作成ツールについて

3. デモ

4. 今後の課題

UWF INTER

近傍を抜き取ったもの

結び目

結び目の近傍

UWF INTER

3 デモ

近傍を抜き取ったもの

結び目

結び目の近傍

UWF INTER

3 デモ

目次

1. 準備と研究の目的

2. 作成ツールについて

3. デモ

4. 今後の課題

UWF INTER

今後の課題

＊ 実行速度の高速化

＊ 入力を変えて結び目近傍抜き取り プログラムの実装

UWF INTER

おしまい

作成者 曽根英則 （from U.W.F. INTERNATIONAL )

UWF INTER

UWF INTER

1. 入力 ： 結び目

2. 頂点を追加

3. 追加した頂点と結び目の頂点で四面体分割

4. 重心細分

5. 結び目の近傍の抜き取り

トポロジー(位相幾何学)

ある変形に幾何学的対象にほどこしても変わらない

ような性質を研究する学問

結び目 自由に伸び縮みするゴム紐

立方体 , 直方体 , 球

R のd+1個の点 n0, n1 , n2, . . . , nd

が一般の位置にあるときこれらを含む最小の

凸集合を単体という

一般の位置：

平面なら３点が同一直線上にない

空間なら４点が同一平面上にない

d

単純閉折線の説明

有限個の点 v0 , v1 , ... , vnにおいて

単純閉折線Kは

K = v0v1 U v1v2 U ... U vn-1vn

v0=vn ＆ n >= 3 ＆ 単純

PowerPoint プレゼンテーション

曽根智久

2003-11-04T18:38:00