% subject : ���ƌ����񍐏�
% author  : Nobukazu SUZUKI
% date    : February 11, 2004

\documentclass[a4paper]{jarticle}

\usepackage{tani_report}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{epsfig}
\bibliographystyle{plain}
\usepackage{color}
\usepackage{graphics}

\alignbeforeskip -5mm
\alignafterskip -5mm
\eqnarraybeforeskip -5mm
\eqnarrayafterskip -5mm

%%%%%%%% commands %%%%%%%%%
%\newcommand{\lt}[1][L]{\ensuremath{\widetilde{#1}}}
\newcommand{\lrang}[1][L]{\ensuremath{\langle{#1}\rangle}}
%\newtheorem{thm}{�藝}
\newtheorem{defi}{��`}
%\newtheorem{pro}[thm]{����}
%\newtheorem{lem}[thm]{���}
%\newtheorem{kei}[thm]{�n}
%\newcommand{\prf}[1][]{{\noindent\bf {#1}�ؖ�.~}}
\newcommand{\lt}{\widetilde{L}}
\newcommand{\wt}{\widetilde{W}}
\newcommand{\cS}{{\cal S}}

\renewcommand{\abstractname}{Abstract}
\renewcommand{\figurename}{Figure}
\renewcommand{\refname}{\centering{References}}
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi}
\renewcommand{\theenumi}{\rm(\roman{enumi})}

\jptitle{
Closed 3-braid �����N��Jones �������ɂ��

���ގx���V�X�e��

}

\etitle{
A Support System for Classifying Closed 3-braid Links by Jones Polynomial

{\tt http://www.tani.cs.chs.nihon-u.ac.jp/g-2004/nob/}
}

\jpauthor{��� �L�a}
\eauthor{Nobukazu SUZUKI}

\course{�J ������}

\year{15}

\abstract{
closed 3-braid �����N�ɑ΂��āC�����_���ȉ��̂��ׂĂ̕W���I�ȃ_�C�A�O������Jones���������v�Z���C
��r���邱�Ƃɂ����closed 3-braid �����N�𕪗ނ���V�X�e�����\�z�����D
���݁C16��_�ȉ��̂��ׂĂ̕W���I�ȃ_�C�A�O����(43,046,720�ʂ�)�ɑ΂��ĕ��ނ��������Ă���D
}

%\compheading

\begin{document}

\maketitle

\begin{multicols}{2}
\section{�͂��߂�}
���ݖڂ������ȗ��ݖڂł��邩�𔻒肷�����2�̗��ݖڂ��^����ꂽ�Ƃ�����炪���l�ł��邩�𔻒肷����͌��іڗ��_�ɂ������{�I�Ȗ��ł���D
���ݖڂ������ł��邩�𔻒肷�����1999�N�� J.Hass�CJ.C.Lagarias�CN.Pippenger[2] �ɂ���� \textbf{NP} �ɓ��邱�Ƃ������ꂽ�D
����C2�̗��ݖڂ����l�ł��邩�𔻒肷����͌��n�A�[�I�ł��邩�ǂ������m���Ă��Ȃ��D
��ʂɁC���C�f�}�C�X�^�[�ړ��Ƃ�΂�铯�l�ό`�����񂩍s�����Ƃɂ����2�̗��ݖڂ����l�ł��邩����\�ł���D
�������C���̓��l�ό`�̉񐔂ɂ͐������Ȃ����ߓ���ƍl�����Ă���D
���̂��ƂƂ��֘A���āC���іڗ��_�ł͕s�ϗʂɂ��Ă̌���������ɍs���Ă���D
Jones�������́C�ł���\�I�ȑ������s�ϗʂł���D
L.H.Kauffman�́C���ݖڂ̃_�C�A�O��������g�ݍ��킹�_�I�� Kauffman bracekt ���������`���C
�Ђ˂萔�Ƒg�ݍ��킹�� Jones �����������肷����@���l�Ă����D
��ʂ�Jones�������̌v�Z�͎w�����Ԃ�����Ɨ\�z����Ă���D

����C���C�R�{�C�J[4]��closed 3-braid �����N�ɑ΂��āC
�W���I�ȃ_�C�A�O��������$\mathcal{O}(n^2logn)$���ԂŌv�Z�ł��邱�Ƃ������Ă���������s���Ă���D
�{�����ł́C�W���I�ȃ_�C�A�O�����ɓK�؂Ɍ����t�����s���Ђ˂萔���v�Z���邱�Ƃɂ����Jones���������v�Z����悤�g�������D
����ɁCclosed 3-braid �����N�̕W���I�ȃ_�C�A�O���������ׂĐ���������Jones���������v�Z���邱�Ƃɂ���ĕ��ނ��s���V�X�e�����V�X�e�����\�z�����D
���݁C16��_�ȉ��̂��ׂĂ̕W���I�ȃ_�C�A�O����(43,046,720�ʂ�)�ɑ΂��ĕ��ނ��������Ă���D

\vspace*{15mm}

\section{���іڗ��_�̏���}
\subsubsection*{���ݖڂƃ_�C�A�O����}
3�������[�N���b�h��ԓ��ɖ��ߍ��܂ꂽ�݂��ɑf��$n$�{�̒P���Ȑ���{\emph{$n$�����̗��ݖ�}}�܂��́C�P��{\emph{���ߖ�}}(link)�Ƃ����D
���ɁC$1$�����̗��ݖڂ�{\emph{���і�}}(knot)�Ƃ����D
�e�����Ɍ������^�����Ă��闍�ݖڂ�{\emph{�L�����ݖ�}}�Ƃ����D

3�������[�N���b�h��ԓ��Ŏ������g�����؂�Ȃ��ŕR�𓮂������Ƃ�{\emph{�S���ʕό`}}�Ƃ����D
2�̗��ݖ�$L$��$L'$��{\emph{���l}}�ł���Ƃ́C$L$��$L'$�ɑS���ʕό`�\�ł��邱�Ƃ������D

���ݖڂ𕽖ʂɎˉe�����}�ŁC���d�_�����f�I�Ɍ�����Ă���2�d�_�݂̂���Ȃ���̂����̗��ݖڂ�{\emph{�����ˉe�}}}�Ƃ����C
����ɁC�e2�d�_�ɂ��Ƃ̗��ݖڂɂ���������̏㉺�̏������������̂����̗��ݖڂ�{\emph{�_�C�A�O����}}�Ƃ����D�܂��C�e2�d�_��{\emph{��_}}�Ƃ����D

\begin{center}
\scalebox{.4}{\includegraphics{link_etc.eps}}
\end{center}
\centerline{�}1: ���ݖڂƃ_�C�A�O����}

\newpage



\subsubsection*{Kauffman bracket������}
���ݖڂ̃_�C�A�O����$\lt$��\emph{Kauffman bracket������} $\langle \lt \rangle$�Ƃ́C���̂悤�ɍċA�I�ɒ�`�����ϐ�$A$�̐��W��Laurent�������̂��Ƃ������D

\begin{enumerate}
\item $\langle \bigcirc \rangle = 1$, 
\item $\langle\hspace{0.2mm}$\raisebox{1.7mm}{\tiny$\diagdown$}$\hspace{-1.9mm}${\large$\diagup$}$\hspace{-2.9mm}$
\raisebox{-0.5mm}{\tiny$\diagdown$}$\rangle = A \langle\ )(\  \rangle +A^{-1} \langle\ \asymp\ \rangle$,
\item $\langle \lt \sqcup \bigcirc \rangle = (-A^{-2}-A^2) \langle \lt \rangle$.
\end{enumerate}

��$\bigcirc$�͎����Ȍ��іڂ̌�_�������Ȃ��_�C�A�O����

��\textup{(ii)}�̎����Ɍ����$3$�̃_�C�A�O�����́C������@�@�������ŕ`����Ă��镔���ȊO�͈�v���Ă���

��$\lt \sqcup \bigcirc$�́C$2$�̃_�C�A�O����$\lt$��$\bigcirc$�Ƃ̘a�ŗ��@�@�ҊԂŌ�_�������Ȃ��_�C�A�O����

\vspace*{2mm}

\subsubsection*{�Ђ˂萔}
�L���_�C�A�O����$\lt$�̊e��_�ɑ΂��āC�}2�̂悤�ȋK����$+1$�܂���$-1$�̕�����Ή������C���̕����a��$\lt$��{\emph{�Ђ˂萔(writhe)}}�Ƃ����C{\emph{$w(\lt)$}}�ƕ\���D

\vspace*{2mm}

\begin{center}
\scalebox{.28}{\includegraphics{writhe.eps}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\centerline{$+1$�̌�_�@ �@$-1$�̌�_ }
\vspace{2mm}
\centerline{�}2: �Ђ˂萔�̕���}


%\vspace{5mm}
\subsubsection*{Jones������}
�L�����ݖ�$L$�� \emph{Jones������} $X(L)$�́C���̂悤�ɂ��Ē�`�����D�����ŁC$\lt$�͔C�ӂ�$L$�̃_�C�A�O�����Ƃ���D

\begin{eqnarray*}
X(L) = \left.(-A^3)^{-w(\lt)}\langle{\lt}\rangle\right|_{t^{1/2}=A^{-2}}
\end{eqnarray*}

$X(L)$��$\lt$�̎����ɂ��Ȃ����Ƃ��m���Ă���D

\subsubsection*{�����^���O��}
���ݖڂ̃_�C�A�O�����ɂ����āC���ݖڂ����傤��4�_�Ō����悤�ȉ~�ň͂܂ꂽ�̈��{\emph{�^���O��}}�Ƃ����D������2�{�̕R����Ȃ�^���O����{\emph{0-�^���O��}}�C0-�^���O����$k$��P���Ăł���^���O����{\emph{$k$-�^���O��}}�Ƃ����C$I_k$�ƕ\���D�����𑍏̂���{\emph{�����^���O��}}�Ƃ����D
\\
\begin{center}
 \unitlength=0.4mm
 \begin{picture}(140,60)(0,0)
  \qbezier(0,0)(20,30)(0,60)
  \qbezier(30,0)(10,30)(30,60)
  \put(-2,-12){0--�^���O��}
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \qbezier(60, 0)(60, 7)(70,10)
  \qbezier(70,10)(80,13)(80,20)
  \qbezier(60,20)(60,27)(70,30)
  \qbezier(70,30)(80,33)(80,40)
  \qbezier(60,40)(60,47)(70,50)
  \qbezier(70,50)(80,53)(80,60)
  %
  \qbezier(60,60)(60,53)(68,51)
  \qbezier(72,48)(80,47)(80,40)
  \qbezier(60,40)(60,33)(68,31)
  \qbezier(72,28)(80,27)(80,20)
  \qbezier(60,20)(60,13)(68,11)
  \qbezier(72, 8)(80, 7)(80, 0)
  %
  \put(55,-12){3--�^���O��}
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \qbezier(120,0)(122,17)(128,17)
  \qbezier(132,19)(140,23)(140,30)
  \qbezier(120,30)(120,37)(128,41)
  \qbezier(132,43)(140,43)(140,60)
  %
  \qbezier(120,60)(122,43)(130,42)
  \qbezier(130,42)(140,39)(140,30)
  \qbezier(120,30)(120,23)(130,18)
  \qbezier(130,18)(138,17)(140,0)
  %
  %\put(120,50){\line(0,1){10}}
  %\put(140,50){\line(0,1){10}}
  %\put(120, 0){\line(0,1){10}}
  %\put(140, 0){\line(0,1){10}}
  %
  \put(110,-12){(-2)--�^���O��}
 \end{picture}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\centerline{�}3: �����^���O��}


\subsubsection*{closed 3-barid�����N}
���[��2�̕��s�ȕ��ʂɐڑ����Ă���3�{�̕R�ŁC
���ꂼ��̕R��2�̕��ʂ̊Ԃɂ��邷�ׂĂ̕��s�ȕ��ʂƂ��傤��1�񂸂�����Ă�����̂�\emph{$3$-braid}�Ƃ����D
3-braid�𐳑��ˉe���C�ˉe���ʏ�ŕR�̗��[���������g�Ƃ����̕R�Ƃ������Ȃ��悤�Ɍ��΂�Ă���_�C�A�O�����������ݖڂ�{\emph{closed $3$-braid�����N}}�Ƃ����D
�C�ӂ�closed 3-braid�����N�́C�����^���O����}5�̂悤�ɂȂ����_�C�A�O�����������Ƃ͖��炩�ł���D

%\begin{figure}[ht]
 \vspace*{5mm}
 \begin{center}
  \unitlength=.5mm
  \begin{picture}(140,100)(0,-35)
   % �㉺�̖_
   \put( 5,-20){\line(1,0){50}}
   \put( 5,60){\line(1,0){50}}
   %
   \put(10,-20){\line(0,1){ 35}}
   \put(30,-20){\line(0,1){ 5}}
   \put(50,-20){\line(0,1){ 5}}
   %
   \put(30,-5){\line(0,1){ 5}}
   \put(50,-5){\line(0,1){ 5}}
   %
   \put(30,10){\line(0,1){ 5}}
   \put(50,10){\line(0,1){20}}
   %
   \put(10,55){\line(0,1){ 5}}
   \put(30,55){\line(0,1){ 5}}
   \put(50,40){\line(0,1){20}}
   %
   \put(10,25){\line(0,1){20}}
   \put(30,25){\line(0,1){ 5}}
   \put(30,40){\line(0,1){ 5}}
   %
   \put(10,15){\line(2,1){20}}
   \put(10,45){\line(2,1){20}}
   \put(30,40){\line(2,-1){20}}
   \put(30,10){\line(2,-1){20}}
   \put(30,-5){\line(2,-1){20}}
   %
   \put(10,25){\line(2,-1){8}}
   \put(30,15){\line(-2,1){8}}
   \put(10,55){\line(2,-1){8}}
   \put(30,45){\line(-2,1){8}}
   \put(30,30){\line(2,1){8}}
   \put(50,40){\line(-2,-1){8}}
   \put(30,0){\line(2,1){8}}
   \put(50,10){\line(-2,-1){8}}
   \put(30,-15){\line(2,1){8}}
   \put(50,-5){\line(-2,-1){8}}
   %
   \put(27,-45){(a)}
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \put(70,-20){\line(0,1){ 35}}
   \put(90,-20){\line(0,1){ 5}}
   \put(110,-20){\line(0,1){ 5}}
   %
   \put(90,-5){\line(0,1){ 5}}
   \put(110,-5){\line(0,1){ 5}}
   %
   \put(90,10){\line(0,1){ 5}}
   \put(110,10){\line(0,1){20}}
   %
   \put(70,55){\line(0,1){ 5}}
   \put(90,55){\line(0,1){ 5}}
   \put(110,40){\line(0,1){20}}
   %
   \put(70,25){\line(0,1){20}}
   \put(90,25){\line(0,1){ 5}}
   \put(90,40){\line(0,1){ 5}}
   %
   \put(70,15){\line(2,1){20}}
   \put(70,45){\line(2,1){20}}
   \put(90,40){\line(2,-1){20}}
   \put(90,10){\line(2,-1){20}}
   \put(90,-5){\line(2,-1){20}}
   %
   \put(70,25){\line(2,-1){8}}
   \put(90,15){\line(-2,1){8}}
   \put(70,55){\line(2,-1){8}}
   \put(90,45){\line(-2,1){8}}
   \put(90,30){\line(2,1){8}}
   \put(110,40){\line(-2,-1){8}}
   \put(90,0){\line(2,1){8}}
   \put(110,10){\line(-2,-1){8}}
   \put(90,-15){\line(2,1){8}}
   \put(110,-5){\line(-2,-1){8}}
   %
   \put(120,-20){\line(0,1){80}}
   \put(130,-20){\line(0,1){80}}
   \put(140,-20){\line(0,1){80}}
   %
   \qbezier(110,-20)(115, -25)(120,-20)
   \qbezier(110,60)(115,65)(120,60)
   \qbezier( 90,-20)(115,-35)(130,-20)
   \qbezier( 90,60)(115,75)(130,60)
   \qbezier( 70,-20)(115,-50)(140,-20)
   \qbezier( 70,60)(115,90)(140,60)
   %
   \put(100,-45){(b)}
  \end{picture}
  \end{center}
%\vspace{2mm}
%\end{figure}
\centerline{�}4: (a) 3-braid�@  (b) closed 3-braid links�_�C�A�O����}

\subsubsection*{�W���I�ȃ_�C�A�O�����Ɛ�����\��}
�}5�̂悤�Ɍ��񂾃_�C�A�O������{\emph{closed 3-braid�����N�̕W���I�ȃ_�C�A�O����}}�Ƃ����C{\emph{$\wt(a_1,\ldots,a_m)$}}�ƕ\���D�܂��C$(a_1,\ldots,a_m)$��$\wt(a_1,\ldots,a_m)$��{\emph{������\��}}�Ƃ����D

\begin{center}
\scalebox{0.5}{\includegraphics{closed_3_braid.eps}}
\end{center}
\vspace{-10mm}
\hspace{17mm}$m$���
\hspace{22mm}$m$������
\\
\centerline{�}5: closed 3-braid �����N�̕W���I�ȃ_�C�A�O����}

\section{closed 3-braid �����N�̕���}
\subsubsection*{�Ђ˂萔�A���S���Y��}
��ʂ�$n$�����̗��ݖڂ̌����t����$2^{n-1}$�ʂ肠��Dclosed 3-braid �����N�̐������͍��X3�ł���D����͂Ђ˂萔���ł��傫���Ȃ�悤�Ɍ����t�����s���D���̕��@��p���邱�Ƃɂ���āC�����t�����Ă��Ȃ�closed 3-braid �����N�ɑ΂��Ă�Jones���������v�Z�\�ƂȂ�D

�ȉ��̃A���S���Y���́Cclosed 3-braid �����N�̕W���I�ȃ_�C�A�O������1�̕R���ォ�牺�ɂ��ǂ��Ă����e�����^���O���Ɍ�����t����A���S���Y���ł���D
\\

\noindent
\textbf{Procedure down\_tangle}

\noindent\ \ \
tangle[$i$].left, tangle[$i$].right$(i=1,\ldots,m)$��0

\noindent\ \ \
�ŏ�����

\noindent\ \ \
$i$��1�ŏ�����

\noindent\ \ \
P��"left"�ŏ�����

\noindent\ \ \
\texttt{if} $m$=1

\noindent\ \ \ \ \ \ 
tangle[2].right$\longleftarrow$1

\noindent\ \ \
\texttt{while} tangle[1].left, tangle[1].right, tangle[2].right \texttt{do}

\noindent\ \ \
�@�@�@�̂��ׂĂ̒l��0�łȂ�

\noindent\ \ \ \ \ \
\texttt{while} $i<=m$ \texttt{do}

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{if} $i$���

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
tangle[$i$].left = 1�E�E�E(��)

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{if} P��"left"

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\texttt{if} $a_i$���

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
$i$���C���N�������g

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{else} $a_i$������

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$i\longleftarrow{i+2}$

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{else} P��"right"

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{if} $a_i$���

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$i\longleftarrow{i+2}$

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{else} $a_i$������

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$i$���C���N�������g

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
P��"left"�ɕς���

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{else} $i$������ 

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
tangle[$i$].right = 1�E�E�E(��)

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{if} P��"left"

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\texttt{if} $a_i$���

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
$i\longleftarrow{i+2}$

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{else} $a_i$������

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$i$���C���N�������g

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
P��"right"�ɕς���

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{else} P��"right"

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{if} $a_i$���

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$i$���C���N�������g

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{else} $a_i$������

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$i\longleftarrow{i+2}$

\noindent\ \ \ \ \ \
\texttt{od} 

\noindent\ \ \ \ \ \
\texttt{if} $i=m+1$ ���� P��"right"

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \
$i\longleftarrow{2}$

\noindent\ \ \ \ \ \
\texttt{else}

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \
$i\longleftarrow{1}$

\noindent\ \ \
\texttt{od}


\vspace*{4mm}

closed 3-braid �����N�̕W���I�ȃ_�C�A�O������1�̕R���������ɂ��ǂ��Ă����e�����^���O���Ɍ�����t����A���S���Y���́C(��)�ɂ�����-1��������D
tangle[i].left��tangle[i].right�̕�������v����΁C�����^���O��$a_i	$�̂Ђ˂萔��$+a_i$�C��v���Ȃ���΁C$-a_i$�ƂȂ�D$i$��$1$$�`$$m$�܂ł̔C�ӂ̒l�D
�e�����^���O��$a_i$�̂Ђ˂萔�̘a��closed 3-braid�����N�̕W���I�ȃ_�C�A�O�����̂Ђ˂萔�ƂȂ�D
\\

\subsubsection*{������\���A���S���Y��}

closed 3-braid�����N�̌�_���́C������\��$(a_1,\ldots,a_m)$�̊e�v�f$|a_i|$ $(i=1,\ldots,m)$�̘a�ł��邱�Ƃ͖��炩�ł���D 
�����_���ȉ��̕W���I�ȃ_�C�A�O���������ׂė񋓂��邽�߂ɂ͐����������s�����Ƃɂ���ĉ\�ł���D
�Ⴆ�΁C4�̕�����$(1,1,1,1), (1,1,2), (1,3), (2,2), (4)$��5�ʂ�ł���C
����Ɋe�����ɑ΂��ď���ƕ������l������ƌ�_��$n$�ƂȂ邷�ׂĂ̐�����\���𓾂����ƂɂȂ�D

�ȉ��̃A���S���Y���́C���鐮���̂��ׂĂ̕����̏���𐶐�����D
\\


\noindent
\textbf{Procedure permutaion}

\noindent\ \ \
\textsf{����:} ��_��$n$

\noindent\ \ \
\textsf{�o��:} ��_��$n$�ł��鐮����\�� P[ ]

\noindent\ \ \
$sum \longleftarrow n$

\noindent\ \ \
$i \longleftarrow n-1$

\noindent\ \ \
P[$0,\ldots,i$] ��1�ŏ�����

\noindent\ \ \
\texttt{while} $i$��0�łȂ� \texttt{do}

\noindent\ \ \ \ \ \
$sum \longleftarrow n-$P[$i$]

\noindent\ \ \ \ \ \
$i$���f�N�������g

\noindent\ \ \ \ \ \
P[$i$]���C���N�������g

\noindent\ \ \ \ \ \
$sum$���C���N�������g

\noindent\ \ \ \ \ \
\texttt{while} $sum$��$n$����v�łȂ� \texttt{do}

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \
$i$���C���N�������g

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \
P[$i$] $\longleftarrow 1$

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \
$sum$���C���N�������g

\noindent\ \ \ \ \ \
\texttt{od}

\noindent\ \ \ \ \ \
P[$0,\ldots,i$]���o��

\noindent\ \ \
\texttt{od}
\\

�ȉ��̃A���S���Y���́C�S�Ă̏ꍇ�̕������t����������\���𐶐�����D
\\

\noindent
\textbf{Procedure progressive\_expression}

\noindent\ \ \
\textsf{����:} �����Ȃ�������\�� P[$0,\ldots,m$ ]

\noindent\ \ \
\textsf{�o��:} ������t����������\�� PE[ ]

\noindent\ \ \
SIGN[$0,\ldots,m$]��0�ŏ�����

\noindent\ \ \
\texttt{repeat}

\noindent\ \ \ \ \ \
\texttt{for} $i=0,\ldots,m$

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{if} SIGN[$i$] $= 0$

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
PE[$i$] $\longleftarrow$ P[$i$]��($-1$)�{

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \
\texttt{else} SIGN[$i$] $= 1$

\noindent\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
PE[$i$] $\longleftarrow$ P[$i$]

\noindent\ \ \ \ \ \
PE[$0,\ldots,m$]���o��

\noindent\ \ \ \ \ \
SIGN[]�z��̗v�f�̕��т�2�i���ƌ����ĂāC

\noindent\ \ \ \ \ \
SIGN[]�z��̗v�f���C���N�������g

\noindent\ \ \
\texttt{until} SIGN[$0,\ldots,m$]�̒l�����ׂ�1

\noindent\ \ \
PE[$0,\ldots,m$]���o��


\vspace*{5mm}
\section{�܂Ƃ�}
���݁C16��_�ȉ��̂��ׂĂ�closed 3-braid �����N�̕W���I�ȃ_�C�A�O����(43,046,720�ʂ�)�ɑ΂���Jones ���������v�Z����r���邱�Ƃɂ���ĕ��ނ��������Ă���D
\subsubsection*{����̉ۑ�}
\begin{itemize}
\item ���ނ���������������\���̒T���̍�����
\item ���́C�o�͂�GUI��
\end{itemize}

\vspace*{5mm}

\section*{�Q�l����}
\noindent
[1] C. C. Adams. THE KNOT BOOK. W.H. Freeman and Company. 2001.

\noindent
[2] J.Hass, J. C. Lagarias and N. Pippenger. The computational complexity of knot and links problems. \textit{Journal of the} ACM, Vol. 46, No.2(1999) 185-211.

\noindent 
[3] W.B.R. Lickorish.  An Introduction to Knot Theory. Springer-Verlag New York,Inc. 1997.

\noindent
[4] M. Murakami, M. Hara, M. Yamamoto, S. Tani. Fast Algorithms for Computing the Jones Polynomials of Certain Links. Preprint. 2004. 


\vspace*{5mm}
\section*{�t�^}
\subsubsection*{�쐬�����v���O�����̎d�l}

\noindent
����1: �n�_s, �I�_t

\noindent
�o��1: ��_��s����t�܂ł̂��ׂĂ�

\noindent
�@�@�@ closed 3-braid�����N�̕W���I�ȃ_�C�A�O������

\noindent
�@�@�@ Jones�������ɂ�镪�ތ���

\noindent
����2: ��_�� $n$

\noindent
�o��2: �����_����1�������ꂽ

\noindent
�@�@�@ $n$ ��_�̐�����\����Jones������

\noindent
����3: ������\��

\noindent
�o��3: ���͂��ꂽ������\����Jones������

\vspace*{50mm}

�@

\end{multicols}

\end{document}